Ta có: 2 ∫ 1 [2 + f(x)] dx = 2 ∫ 1 [2 + x^2] dx = 2 [2x + (1/3)x^3]1→1 = 2 [(2+1/3) - (2+1/3)] = 0 Vậy đáp án là D. 7/3.

\(F\left(x\right)=\int\left(e^x.ln\left(ax\right)+\dfrac{e^x}{x}\right)dx=\int e^xln\left(ax\right)dx+\int\dfrac{e^x}{x}dx=\int e^xlnxdx+\int\dfrac{e^x}{x}dx+\int e^x.lna.dx\)

Xét \(I=\int e^xlnxdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=e^x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=lnx.e^x-\int\dfrac{e^x}{x}dx\)

\(\Rightarrow F\left(x\right)=e^x.lnx+e^x.lna+C\)

\(F\left(\dfrac{1}{a}\right)=e^{\dfrac{1}{a}}ln\left(\dfrac{1}{a}\right)+e^{\dfrac{1}{a}}.lna+C=0\Rightarrow C=0\)

\(F\left(2020\right)=e^{2020}ln\left(2020\right)+e^{2020}.lna=e^{2020}\)

\(\Rightarrow ln\left(2020a\right)=1\Rightarrow a=\dfrac{e}{2020}\)

\(h\left(x\right)=f\left(x^2+1\right)-m\Rightarrow h'\left(x\right)=2x.f'\left(x^2+1\right)\)

\(h'\left(x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\f'\left(x^2+1\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^2+1=2\\x^2+1=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\left\{-2;-1;0;1;2\right\}\)

Hàm có nhiều cực trị nhất khi \(h\left(x\right)=m\) có nhiều nghiệm nhất

\(f\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{5}{3}x^3-2x^2+20x+C\)

\(f\left(1\right)=0\Rightarrow C=-\dfrac{199}{12}\Rightarrow f\left(x\right)=-\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{5}{3}x^3-2x^2+20x-\dfrac{199}{12}\)

\(x=\pm2\Rightarrow x^2+1=5\Rightarrow f\left(5\right)\approx-18,6\)

\(x=\pm1\Rightarrow x^2+1=2\Rightarrow f\left(2\right)\approx6,1\)

\(x=0\Rightarrow x^2+1=1\Rightarrow f\left(1\right)=0\)

Từ đó ta phác thảo BBT của \(f\left(x^2+1\right)\) có dạng:

Từ đó ta dễ dàng thấy được pt \(f\left(x^2+1\right)=m\) có nhiều nghiệm nhất khi \(0< m< 6,1\)

\(\Rightarrow\) Có 6 giá trị nguyên của m

đi từ hướng làm để ra được bài toán: 

Ta thấy muốn f(|x|) có 5 điểm cực trị thì f'(x) phải có 2 điểm cực trị dương

giải f'(x)=0 \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\x^2-2\left(m+1\right)x+m^2-1=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\) phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt trái dấu nhau 

Ta có: \(\Delta>0\Leftrightarrow m>-1\)

Theo yêu cầu bài toán: \(m^2-1>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -1\\m>1\end{matrix}\right.\) 

Làm xuôi thì đơn giản, tính \(F'\left(x\right)\) là xong (chịu khó biến đổi)

Làm ngược thì nhìn biểu thức hơi thiếu thân thiện

\(\int\dfrac{2\sqrt{2}\left(x^2-1\right)}{x^4+1}dx=\int\dfrac{2\sqrt{2}\left(x^2-1\right)}{\left(x^2-x\sqrt{2}+1\right)\left(x^2+x\sqrt{2}+1\right)}dx\)

Phân tách hệ số bất định:

\(\dfrac{2\sqrt{2}\left(x^2-1\right)}{\left(x^2-x\sqrt{2}+1\right)\left(x^2+x\sqrt{2}+1\right)}=\dfrac{a\left(2x-\sqrt{2}\right)}{x^2-x\sqrt{2}+1}+\dfrac{b\left(2x+\sqrt{2}\right)}{x^2+x\sqrt{2}+1}\)

Quan tâm tử số: \(a\left(2x-\sqrt{2}\right)\left(x^2+x\sqrt{2}+1\right)+b\left(2x+\sqrt{2}\right)\left(x^2-x\sqrt{2}+1\right)\)

\(=2\left(a+b\right)x^3+\sqrt{2}\left(a-b\right)x^2+\sqrt{2}\left(b-a\right)\)

Đồng nhất 2 tử số: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=0\\a-b=2\\\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=-1\end{matrix}\right.\)

Do đó:

\(\dfrac{2\sqrt{2}\left(x^2-1\right)}{x^4+1}=\dfrac{2x-\sqrt{2}}{x^2-x\sqrt{2}+1}-\dfrac{2x+\sqrt{2}}{x^2+x\sqrt{2}+1}\)